周衍柏理论力学教学总结

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理论力学总结

姓名：黄亚敏 班级0911物理学 学号：2009110102 指导老师：夏清华

前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。

初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么

?didt??did?d?dt

????j

，

?

djdt

?

?djd?d?dt

?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对

时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算

??

因为我开始的错误理解是: i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求???

导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，??

单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这?????

?里的单位矢量i，j是一个变量。求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，

???

2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r

，还可以用自然坐标算出加速度，最全面的范文参考写作网站表达式简单一些，但前

??ds?

v?vi?i

dt

提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为

??

2?2?dvdsdsdidv?v?

a??i??i?j2

dtdtdtdtdt?

，

，通过不同的题目选择不同的坐标可以使计算更简

单。

对我来说，力学的一些定律一直都很熟悉，从最开始学物理的时候就能把一些力学定律背得很清楚，牛顿第二定律，动量定理和动量守恒定律，动量矩（角动量矩）定理和动量矩（角动量）守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，但是使用起来的就需要更灵活的掌握了，首先要清楚使用每个定律的条件，通常可一分为两

????dpF?

dt??

???dJ，M?

dt

,通过这几个变化和题目中的条件判断出动量和角动量是否为常

量，在选择使用哪一个定律。

变换有 质点——质点组

平面坐标系——非惯性参考系（平动参考系）——转动参考系

老师讲课的时候，都是花了大力气讲的，第一个是，这是重点，是学习理论力学的基础，必须要讲清楚，大概花了十几个课时来讲这方面的内容。同时第二，这也是个难点，要很熟练的掌握，需要真正的理解，否则只能是一头雾水，我很清楚我在这一块，尤其是平动参考系和转动参考系有许多还不太清楚，

所以写这方面的总结还要在下去看懂了才能写出来，

这本书的重点和难点就是刚体力学，从它给出的的习题可以看出，夏老师在将这一章的时候没有按照书上的编排顺序讲，首先讲的是刚体的瞬心和质心的判断，然后再讲刚提的平面平行运动、刚提平动和绕固定轴的转动、转动惯量、欧拉角、刚体绕固定点的 转动。

平动——刚体各点的速度及加速度相同，但不一定是直线运动，。思想汇报专题有三个独立变量（与质点相同）

定轴转动——转动轴上诸点不动，其它点都绕轴线上某点作圆周运动，定轴转动只有一个独立变量。

平行于一平面的运动——各点均始终在平行与某固定平面的平面运动，可分解为平动及定轴转动的组合，固有三个独立变量

定点转动——在运动中，刚体内只有一点始终保持不动，有三个独立变量

地方，我写的理论力学论文也是关于这方面的，《经典物理与分析物理的部分比较》，虽然对这一部分并不是很懂，但是有一点点小的感悟。

在引入虚功原理时，作者是用牛顿力学中力学体系平衡条件推出的，后文再无讨论。，分析力学的基础，同时也是分析力学中仅有的物理意义较明显的部分-虚功原理，是建立在牛顿力学基础上的！读者仍需把虚功原理作为最基本的假设，而后文的所有过程都将建立在这一假设基础上。推理过程只能说明牛顿力学与分析力学

的相洽，并非像书中所暗示的那样，分析力学需要牛顿力学为基础，使牛顿力学加数学的产物。仔细考虑会发现，这两者之间的根本区别便存在于虚功原理之中。现在来分析一下。

牛顿力学认为，只要力学体系所受力是确定的，那么其下一刻的运动方向便是确定的，这是一种微观上的确定论。反观分析力学，不管是“虚功”定义还是对“虚功原理”的阐述以至达朗贝尔-拉格朗日方程的写出，都一再强调其中虚位移的方向是在“所有可能方向上”的。在分析力学看来，力学体系即使所受力是确定的，范文参考网其运动方向仍然（在很程度上）是任意的，真实运动的特殊性在于它满足达朗贝尔-拉格朗日方程。这原本是一个可以让人感觉很奇妙的事情，但在作者的写法下完全失去了其应有的魅力。作者的意图是让分析力学建立于读者所熟悉的物理基础上，然而事实上，这种把分析力学作为牛顿力学推论的做法只会使分析力学由原本物理意义较弱完全沦为一种数学游戏。事实上，以虚功原理为最基本假设，分析力学看起来会更有意思。

若不能领悟虚功原理，那么对于后面虚功原理的积分形式-哈密顿原理便可能不会理解的特别好。哈密顿原理认为，两个时间点内力学体系的可能运动方式是任意的，真实运动的特殊性在于其作用函数的积分具有稳定值。这种说法看起来更好想象，因为它有了时间的间隔，不必去想微观上的虚位移。而且这个结论也足够吸引人，真实运动的作用函数积分后变分为零，是不是看起来很舒服，是不是会引人遐想-世界怎么会以这种舒服的方式运转呢？

仔细想想，就会发现哈密顿原理与（微分）虚功原理的共通之处-不事先考虑

体系的运动方式，而是统统写出来之后，再通过某种数学标准将之挑出。因为涉及所有可能方向，我把它叫做宏观确定性（在哈密顿原理中这种说法已接近字面义了），这是分析力学的特点所在，也是区别于牛顿力学的根本所在。

篇二：周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学

第五章 分析力学

范文写作本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。

第一节 约束和广义坐标

一、约束的概念和分类

加于力学体系的限制条件叫约束。按不同的标准有不同的分类：

按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；

按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。

本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。

二、广义坐标 1、自由度

描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标

描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如：作圆周运动的质点

只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和

描述，自由度为2。

第二节 虚功原理

本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。

一、实位移与虚位移

质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中

一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，范文TOP100而曲面也在移动，显然实位移

不一致。二、理想约束

设质点系受主动力

和约束力

的功叫虚功。

若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。三、虚功原理

的作用，它们在任意虚位移中作

与虚位移

1、文字叙述和数学表示：

受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即

（1）

适用条件：惯性系、理想不可解约束。2、推论

设系统的广义坐标为q1，……，qa，……，qS，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：

定义：

称为相应于广义坐标qa的广义力，则虚

功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：

（2）

3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤

一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；

（2）选取广义坐标并将各质点坐标

表示成广义坐标qa的函数：

；

，由

（3）求主动力的虚功并令其为零：

此求出平衡条件。[例] 见书P276 [例1]

第三节 拉格朗日方程

本节重点要求：（1）掌握拉格朗日方程的两种形式，方程的特点和适用条件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤；（3）了解循环积分等概念。

一、基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推导

由牛顿第二定律并应用理想约束的条件达朗伯——拉格朗日方程：

(1)

，可以得到

将坐标

的变分改成用广义坐标q1，……，qS的变分表示，即：

经数学运算，令

（称为体系的动能），

（称为相应于qa的广义力），则（1）式变为：

（2）

这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程。2、方程的适用条件：理想约束。二、保守系的拉格朗日方程

设作用于体系的力全为保守力，则广义力

可由

（V

为势能）求得：

，可

在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含广义速度

令：

（动能与势能的差）

为拉格朗日函数，则（2）式变为：

（3）

应指出（3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普遍。

三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例

一般步骤：①画草图，确定自由度s和广义坐标qa；②分析主动力

，若为保守系，则求出势能V；若为非保守力，则计算广义力

）；④对保守系，求出L=T-V，进而代入方程

Qa；③求动能T=T（

（3），写出运动方程；⑤对非保守系，将T和广义力Qα代入方程（2），写出运动方程。⑥解方程，求出qα（t）。[例1] P265 4.10题

圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动，求圆环运动规律。

篇三：理论力学第三版(周衍柏)习题答案

第一章 质点力学

第一章习题解答

1.1 由题可知示意图如题1.1.1图

:

S

S

设开始计时的时刻速度为v0,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a.则有:

12?

s?vt?at101??2?

?2s?v?t?t??1a?t?t?2

01212?2?

题1.1.1图

由以上两式得

v0?

s1

?at1 t12

再由此式得

a?

证明完毕.

2s?t2?t1?t1t2t1?t21.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.

题1.2.1图

1?设A船经过t0小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过??t0?1?小时经过灯塔2??

任意时刻A船的坐标

xA???15t0?15t?，yA?0

B船坐标xB?0，

???1?

yB???15?t0?1??15t?

2????

则AB船间距离的平方

d2??xA?xB?2??yA?yB?2

即

???1?

d2??15t0?15t?2??15?t0?1??15t?

2????

2

1??2

?450t2??900t0?675?t?225t0?225?t0?1?

2??

2

d2对时间t求导

dd2

?900t??900t0?675?dt

dd2 船相距最近，即AB?0，所以 dt

t?t0?

3 h4

??

??

即午后45分钟时两船相距最近最近距离

smin

3??33??

??15????15??15??km

4??42??

22

1.3 解?1?如题1.3.2图

第1.3题图

y

题1.3.2图

由题分析可知，点C的坐标为

?x?rcos??acos??

?y?asin?

又由于在?AOB中，有

r2a

?

sin?sin?

sin??

（

2asin?2y

?rr

联立以上各式运用

sin2??cos2??1

由此可得

22

x?acos?x?a?y

cos???

rr

得

22222

4y2x?a?y?2xa?y??1r2r2

得

3y2?x2?a2?r2?2xa2?y2

化简整理可得

24x2a2?y2?x2?3y2?a2?r2

????

此即为C点的轨道方程.（2）要求C点的速度，分别求导

r?cos??

?x??r?sin??sin??2cos???

r?cos??y???2?

其中

????

又因为

rsin??2asin?

对两边分别求导 故有

???

r?cos?2acos?

所以

V?

??r?cos?r2?2cos2?

??y???x??r?sin??2cos?sin????4??

2

2

2

?

r?

2cos?

cos2??4sin?cos?sin???

1.4 解 如题1.4.1图所示，

L

AdO

第1.4题图

x

C

OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分

量

v????OC??d2?x2

C点速度

v?d2?x2 2

v??v?sec???dsec???

cos?d

又因为?点加速度???所以C

dv2?2xd2?x222?a???d?2sec??sec??tan???2d?sec?tan??

dtd2

??

1.5 解 由题可知，变加速度表示为

?t??

a?c?1?sin?

2T??

由加速度的微分形式我们可知

a?

dv dt

代入得

?t??

dv?c?1?sin?dt

2T??

对等式两边同时积分

?0

可得 ：

v

t??t?

dv?c??1?sin?dt02T??

v?ct?

2T

?

ccos

?t

2T

?D（D为常数）

代入初始条件：t?0时，v?0，故

D??

2T

?

c

即

?2T??t??v?c?t??1???cos

??2T???

又因为

v?

ds

dt

所以

?2T??t??

?1??dt ds?c?t??cos

??2T???

对等式两边同时积分，

?12T?2T?t??

s?c?t2?sin?t???

???2T???2

1.6解 由题可知质点的位矢速度

篇四：理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案

第一章思考题解答

1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t?t??t内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿?t对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在?t?0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度V和横向速度Vθ的大小、方向都改变，而a中的?r?只反映rr了V本身大小的改变，a?中的r????r??只是Vθ本身大小的改变。事实上，横向速度Vθ方r向的改变会引起径向速度Vr大小大改变，?r??2就是反映这种改变的加速度分量；经向速度V的方向改变也引起Vθ的大小改变，另一个r?即为反映这种改变的加速度分量，故??

r

???2r?.。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能?2，a??r???ar??r??r?

完整地描述质点的运动变化情况

1.3答：内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而an垂直于v指向曲线凹陷一方，故an总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，ab?0,Fb?0z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力Fb?Rb?0，故ab?0符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若

Fb与Rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，

质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足Fb?Rb?0即ab?0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

1.4答：质点在直线运动中只有a?而无an，质点的匀速曲线运动中只有an而无a?；质点作变速运动时即有at又有an。

1.5答：dr即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，

dt

而

dr只表示大小的改变